Canónico (matemática)

El adjetivo canónico se usa con frecuencia en matemática para indicar que algo es natural, como debe ser e independiente de elecciones arbitrarias, que es absoluto y no relativo a un observador, que es intrínseco y no depende de un sistema de referencia o de un sistema de coordenadas, que pertenece a la estructura propia de lo que estudiamos.

Decir de algo que es canónico es decir que no es arbitrario, que todos coincidimos en ello si lo miramos con atención. Aunque siempre se use en sentido impreciso, es un concepto central en matemáticas, ciencia que aspira a desentrañar con rigor lo que se entiende por canónico y a sacar a la luz todo lo que es canónico.

Algunos sinónimos, más o menos lejanos, son: natural, universal, absoluto, intrínseco, general, estructural, independiente, completo, y algunos antónimos son: relativo, arbitrario, particular, usual, ingenioso, por costumbre o convenio.

Origen y breve historia

No sólo es un concepto elusivo y central en matemáticas. Bajo la denominación de φυσις (physis, de donde deriva el nombre de física) fue un concepto central de la filosofía griega. La mayor dificultad que tenemos para acercarnos a ella es el extrañamiento del hombre moderno de tal concepto. Mientras que el hombre griego se encontraba sumergido en él, hoy en día el hombre moderno culto vive fuera de él. Malamente sobrevive en matemáticas (donde con mucha frecuencia se usa en sentidos espurios) y sobre todo en la filosofía.

En el siglo XX, quien mejor ha sabido expresar su sentido ha sido Heidegger. En sus palabras φυσις significa la fuerza que impera, brota y permanece regulada por ella misma. Como manifestación opuesta los griegos introdujeron lo que llamaban θεσις (thesis), lo puesto, o el νομος (nomos), regla en sentido de costumbre, o τεχνη (techné), que significa producción a partir de un saber (técnica).

Uso algebráico y físico

Si se habla del orden canónico de los datos, significa que los datos se ordenan según su orden natural, un orden que no es invención del autor sino que pertenece a la estructura propia de lo que se estudia. Aquí canónico se usa en el sentido de natural o estructural.

Así, si los datos son números naturales, lo canónico es ordenarlos de menor a mayor (o de mayor a menor, realmente hay dos ordenaciones naturales y no puede decirse que una es canónica y la otra no). Si fueran notas musicales, lo natural es ordenarlas por el tono (de graves a agudas, o de agudas a graves...). En cambio, si fueran palabras españolas y se ordenasen como en los diccionarios, ése no sería un orden canónico; pues es claro que poner la b antes que la c es una elección arbitraria que hacemos por costumbre y por convenio: no pertenece a la estructura misma de las palabras. En este ejemplo se ve muy bien la oposición entre φυσις y νομος.

Si se habla de la forma canónica de la ecuación de una curva plana, es un uso espurio de la palabra canónico. Significa que en distintos sistemas de referencia o sistemas de coordenadas la curva adquiere diferentes ecuaciones. En algunos sistemas laecuación de la curva es notablemente más sencilla, y la frase se refiere a una forma que se considera más simple. Aquí canónicose utiliza como sinónimo de simple, sencillo y breve. Sería mejor decir ecuación reducida o forma usual de la ecuación.

Cuando se habla de la base canónica del espacio vectorial Rⁿ, se abusa del término, y debería decirse la base usual de Rⁿ, porque la estructura de espacio vectorial no determina de modo natural ninguna base particular, y para fijar la base a la que se quiere hacer referencia es necesario introducir alguna estructura adicional, como es la descomposición en producto directo.

Al hablar de la proyección canónica en el conjunto cociente queremos decir que es la única proyección que podemos definir en general para todo conjunto cociente. En cada caso particular se podría definir una aplicación distinta del conjunto inicial en el conjunto cociente; pero sólo la proyección llamada canónica puede definirse a la vez para todas las relaciones de equivalencia posibles. Aquí canónico se usa en el sentido de universal.

CURVAS CONICAS

Sección cónica

Se denomina sección cónica (o simplemente cónica) a todas las curvas intersección entre un cono y un plano; si dicho plano no pasa por el vértice, se obtienen las cónicas propiamente dichas. Se clasifican en cuatro tipos: elipse, parábola, hipérbola ycircunferencia.

Etimología

La primera definición conocida de sección cónica surge en la Antigua Grecia, cerca del año 1000 (Menæchmus) donde las definieron como secciones «de un cono circular recto».¹ Los nombres de hipérbola, parábola y elipse se deben a Apolonio de Perge. Actualmente, las secciones cónicas pueden definirse de varias maneras; estas definiciones provienen de las diversas ramas de la matemática: como la geometría analítica, la geometría proyectiva, etc.

Tipos

En función de la relación existente entre el ángulo de conicidad (α) y la inclinación del plano respecto del eje del cono (β), pueden obtenerse diferentes secciones cónicas, a saber:

β < α : Hipérbola (naranja)

β = α : Parábola (azulado)

β > α : Elipse (verde)

β = 90º: Circunferencia (un caso particular de elipse) (rojo)

Si el plano pasa por el vértice del cono, se puede comprobar que:

Cuando β > α la intersección es un único punto (el vértice).

Cuando β = α la intersección es una recta generatriz del cono (el plano será tangente al cono).

Cuando β < α la intersección vendrá dada por dos rectas que se cortan en el vértice.

cuando β = 90º El ángulo formado por las rectas irá aumentando a medida β disminuye, hasta alcanzar el máximo (α) cuando el plano contenga al eje del cono (β = 0).